Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 72

— 14 — gleiche Teile f wie h Einheiten, und deshalb enthält n so viele gleiche Teile f wie t Einheiten. Man beweist nun auf die vorige Weise, dass 1 : n sich wie c : t verhält, und ebenso beweist man, dass n : y sich wie d : k verhält, also ist das Verhältnis a : y aus dem Verhältnis der Zahlen b, c, d zu den Zahlen g, t, k zusammengesetzt. Ebenso beweist man, dass sich a : o aus dem Verhältnis der Zahlen d, b, c zu den Zahlen k, g, t zusammensetzt, aber das Verhältnis, das sich aus den Zahlen b, c, d zu den Zahlen g, t, k zusammensetzt, ist' gleich dem Verhältnis, dass sich aus den Zahlen (1, b, c zu den Zahlen k, g, t zusammensetzt, also ist das Verhältnis von p zu y und zu o dasselbe, also ist y o. Deshalb muss auch die Summe der Zahlen p, m, x gleich der Summe der Zahlen z, r, v sein. Denn die Differenz zwischen a und y ist gleich der Summe von p, m, x, und die Differenz zwischen a und o ist gleich der Summe von z, r, v, es war aber bewiesen, dass y=o ist, also müssen die Summen von p, m, x und z, r, v gleich sein, w. z. b. w. 18. Multipliziert man eine gegebene Zahl m i t einer beliebigen Zahl, zieht von dem E e sult a t der M u 11 i p 1 i c a t i o n einen gegebenen Teil oder gegebene Teile ab und setzt beide Operationen fort, so ist der letzte Rest derselbe, wenn man die Reihenfolge der Operationen vertausch t. Die gegebene Zahl sei a, sie werde mit b multipliziert, von dem Resultat werden weggenommen, von dem Rest *j, es bleibe eine gewisse Zahl. Behauptung : Vertauscht man die Reihenfolge und nimmt ~- von a fort, multipliziert den Rest mit h 1) und nimmt von dem Resultat fort, so bleibt dieselbe Zahl c ' übrig, die bei der ersten Anordnung übrig geblieben war. Beweis: Wir setzen 1 neben10) die Zahl b und setzen die Summe der Zahlen h und t c und die Summe der Zahlen s und k d. Es werde nun a mit b multipliziert, das Resultat sei 1, es seien ~ von der Zahl 1 m, der Rest sei die Zahl n, es seien ~ der Zahl n x der Rest sei v. Ferner nehmen wir 5 von a, das sei die Zahl d p, der Rest sei z, z werde mit b multipliziert und ergebe q, es