3 Lehrsätze ans dieser Wissenschaft mitgetheilt. Anch giebt die Mischna4) an, dass R. Gamaliel im Besitze von Abbildungen der verschiedenen Mondphasen war, die er in der Zeit, als der Neu־ mond durch das erste Sichtbarwerden der Mondsichel …

4 in ihren praktisch geometrischen Aufgaben nicht fremd war, aber nicht den eigentlichen ^Lern ihrer Forschungen auf geometrischem Gebiete bildet. 2) Dass der Talmud in seinen Discussionen mathematischen Inhalts nicht den ganzen mathematisc…

5 Seite hin wird es nun von Wichtigkeit sein, wenn solche talmudische Stellen mit einem leicht durchsichtigen Commentar versehen werden. Die bereits vorhandenen, in hebräischer Sprache geschriebenen Commentare sind so weitschichtig, dass ei…

6 Materie ersehen könne. In mehreren Stellen aber sind hier zur Vereinfachung־ der Darstellung־ unsere üblichen Ziffern und Rechnungszeichen angewendet worden, obschon der Talmud die Ziffern durch Grund- und Ordnungszahlen, die Rechnungsope…

7 dieser Werth etwas zu klein sei, und dass die Weisen dieses Wenige nicht näher bestimmen konnten. Diese Stelle im jerusalemischen Talmud ist wegen ihrer eigentümlichen Rechnungsweise bemerkenswert und soll deshalb hier erläutert werden. W…

8 Quadrats bis an die Seiten des äusseren, so besteht das Quadrat EFGH aus dem Quadrate ABCD und den 4 Rechtecken AK, BL, AM, DN und den 4 Winkelquadraten AE, BF, CG, DH. Nun ist das Quadrat ABCD gleich 70mal 70 4900 oder 5000 — 100 Quadrat…

9 seiner Diagonale durch folgenden Satz ausgedrückt: «Ein Lehrer sagt: Jedes Quadrat, dessen Seite eine Elle lang ist, hat eine Diagonale von l2/5 Ellen Länge», oder: Wenn die Seite eines Quadrats S, dessen Diagonale d, so ist d 1 5ך mal S.…

10 welche weiter unten besprochen wird, an, daäs der Umfang* eines Kreises mit einem Durchmesser von einer Handbreite, drei Handbreiten enthält. Es wird also hier, da der Umfang auf 24 Handbreiten angegeben ist, der Durchmesser 8 Handbreite…

11 älteren Theile der Mischna gehört16). Somit ist als ältester in der Mischna vorkommender Werth der Quadratwurzel aus Zwei der aus Mischna Oholot hergeleitete 1,8*3... Der späteren Mischna Erubin war der genauere Werth 1,4133.. bekannt. S…

12 Kreises ist drei Viertel der Fläche des ihm umschriebenen Quadrats, 2. Die Fläche des dem Kreise einbeschriebenen Quadrats ist gleich der halben Fläche des ihm umschriebenen Quadrats. Dieser Satz, gewöhnlich ohne Beweis hingestellt, kann…

18 so ist d2 4r2 2s2, also s2 oder, da d S, ist s2 u u d. h. der Flächeninhalt des inneren Quadrats ist dem halben Flächeninhalte des umschriebenen Quadrats gleich, was zu beweisen war. III, Verhältniss des Umfanges eines Kreises zu dem des…

14 Kilajim. grösser als der Umfang des ihm einbeschriebenen Kreises, oder: der Kreisumfang ist grösser als drei Viertel des Umfangs des ihm umschriebenen Quadrats. Für die Flächeninhalte ist der Beweis schon Seite 12 angegeben worden. Nachd…

Kilujim. 15 erlaubten machen, erfüllt sind. Die verschiedenen Möglichkeiten der Bepflanzungsformen beruhen, abgesehen von einigen halachisehen Differenzen, in Beziehung auf die dabei zu beachtenden Ver- Ordnungen nur auf der Combination, ei…

…t, getheilt wird, worin 24 solcher Quadrate, also zwei Drittel des ganzen Beetes, bepflanzt sind. Diese Form giebt auch Maimonides an, ohne zu zeigen, wie er sie gefunden hat. Für den zweiten Fall in der eben betrachteten Mischna erhält man eine Form…

…r der besäeten Rhomben gezeichnet sind, CD von EF nicht weniger als ll/2 Handbreiten von einander entfernt sind. Sowohl Maimonides als der ihn hier commentirende Heller haben irrthümlicher Weise DF die Seite des Rhombus für die Entfernung der beiden …

18 Kilajim. . Die hier erwähnten Weinberge sind, wie in Fig. XI, schachbrettartig angelegt. In den Scheitelpunkten der Schachfelderwinkel sind die Weinstöcke gepflanzt. Die quadratischen Schachfelder sind für verschiedene Weinberge verschie…

Kilajim. 19 pflanzt sein. Ist das Kraut um einen Weinstock herum gepflanzt, so enthalten Weinberge in einem Kreise von 16 Ellen Radius, wie sich mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes ergiebt, folgende Zahl von Weinstöcken: Weinberge mit …

20 Kilajim. ergeben bei einem Kreise von 16 Ellen Radius um das Kraut nach Seite 19 die Zahl von 45, respective 37 Weinstöcken, und es würde bei vorkommender Verwechselung eines Weinberges in fünfeiligen Quadraten mit einem in vierelligen Q…

Kilajim. 21 schliessen sollte, als er näher stehende Weinstöcke einschliessen würde. In einem solchen Falle ist die grössere Zahl entscheidend, oder mit andern Worten: der Kreis muss angemessen erweitert gedacht werden, damit er jene grösse…

22 Erubin. Erubin. Das Verhältniss des Kreisumfanges zu seinem Durchmesser giebt die Mischna30) an. Es wird in einer vorhergehenden Mischna31) die Bestimmung angeführt, dass ein bei einem dort näher bezeichneten Sabbatgesetze zu verwendende…