Bericht des Jüdisch-Theologischen Seminars Fraenckel'scher Stiftung · 1878-01-01 · 1878 · page 14

12 Kreises ist drei Viertel der Fläche des ihm umschriebenen Quadrats, 2. Die Fläche des dem Kreise einbeschriebenen Quadrats ist gleich der halben Fläche des ihm umschriebenen Quadrats. Dieser Satz, gewöhnlich ohne Beweis hingestellt, kann mit Hilfe eines andern im Talmud erwähnten Satzes über das Verhältniss der Kreisperipherie zu seinem Durchmesser, dessen Erörterung weiter unten folgt, bewiesen werden. Um den ersten Theil dieses Satzes zu beweisen, sei in Fig. IV dem Kreise um C dessen Durchmesser d ein Quadrat ABDE, dessen Seite S ist, umschrieben, so ist der Durchmesser des Kreises gleich der Seite des Quadrats, also d S. Die Peripherie des Kreises ist nach dem Talmud das Dreifache seines Durchmessers 3d, hier also 3S. Der Flächeninhalt des Kreises ist gleich der Peripherie desselben, multiplicirt mit dem halben Radius 3d^3 ^^־S^^ — ־ ־ ^־ Der Flächen- X ~~~2~ inhalt des Quadrats ist S2 gleich. Die Differenz der beiden Flächen 3S2 S2 ist S2-— —, d. h. der Flächeninhalt des Kreises ist drei 4 4 Viertel der umschriebenen Quadratfläche, was zu beweisen war. Genauere Werthe erhält man durch Anwendung der Zahl .״ זז . S2 Man erhält Inhalt des Quadrats S2, Inhalt des Kreises — Die Differenz der beiden Flächeninhalte ist S2 7rS r m s־ (4 —3,14159...)S2 0,21460... S2, d. h. der Flächeninhalt des Kreises ist grösser als drei Viertel der umschriebenen Quadratfläche. Um den zweiten Theil dieses Satzes, die Flächenverhältnisse der beiden Quadrate betreffend, zu beweisen, beschreibe man um den Kreis der Fig. IV ein Quadrat FGHK, dessen Seite s sei. Zieht man aus dem Mittelpunkt c des Kreises zwei Radien r nach den Endpunkten der Seite s, so ist in dem entstandenen rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck nach dem pythagoräischen Lehrsatz s2 2r2. Da nun d 2r,