Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1913-01-01 · 1913 · page 9

— 10 — (*) __ (2X + 1+Z) y.\ T%. 1 " (1-D-+2' Demnach wird die Doppelsumme von (13) kleiner als ny \ .34—3 oo i 2x+l+ ]J N J£ _1__\_1+ny (l+ny)[l+ny(l-«y)]K * [l+ny(l-<r)f-3 oder auch kleiner als oc (2^7+^)/ N X _1__. J \__ n-M (1+ny) [l+ny(l-cOJ X" ° [i+nyO-dtf Führt man die Multiplikation im Zähler aus, so kann man die über X zu erstreckende Summe in drei Summen zerlegen, deren Wert leicht zu berechnen ist. Führt man diese Berechnung aus, so erhält man nach Multiplikation mit - . .M----—-irr drei über n zu erstreckende un- (l+y)[l+ny(l-(?)] endliche Reihen. Der Summand einer jeden ist eine rationale Funktion von n, in der der Grad des Nenners den des Zählers um mindestens zwei übertrifft. Die Reihen konvergieren also, mithin auch die Reihe (13). Genau so wird die Konvergenz der zweiten Doppelsumme von (12) bewiesen. IV. Für die auf der Kugel vorhandene Elektrizitätsmenge <? erhält man aus der Formel: e af(0) (vgl. K VI, § T) nach (6) CO CO CO CO —V s a | A +nJ? s2n — B n u.Jn - w(o) — n^ v y Cv s2n t2n — Fv u2n t2aJ j- Eine ziemlich einfache Formel erhält man, wenn die Kugeln einander berühren und man annimmt, dass die Cv gleich den entsprechenden Fv werden.1) Dann wird A B, da von Berührungselektrizität abgesehen wird, und man erhält: | x 1 , , co (1+ny) aH-l-fljy)**1! t - a A + V------ 5 C S — —tt--~tt ~ ' i-d(A^ü^l,ly(l+ny) v^o^u^i (l+ny)V+l (Dy)V+l j Die Summanden der über n zu erstreckenden Reihen sind rationale Funktionen von ny, in denen der Grad des Neuners den des Zählers um zwei übertrifft. Daher konvergieren diese Reihen, wenigstens solange v endlich ist. Um diese Reihen für wachsendes v und die Konvergenz der Doppelreihe zu untersuchen, schreibe man CO /-•)!•»___ v^lv° JVn^l (l+ny)V+l^y)v+l ' - y - 1 y2 Dabei sei eine Zahl, die zwischen '—-— und - , — liegt. Man untersuche die Reihe y+1 (y+1)- v co (l+nr)2v+i-(ny)2v+l Mv t>nJi (l+^+l^v+l 5 1 oo (l+ny)2v+1 - (ny)' J) Siehe Fussnote 1 S.3.