Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1913-01-01 · 1913 · page 8

lässt, im Punkte x a noch nicht die Grenze ihrer Konvergenz erreicht. Man schreibe zu diesem Zwecke zunächst die erste Doppelsümme von (12) in der Form: (18) 2 —|—T (_^_)w(a-^-) + $i7l4-=T(v ) wYa * \ K 1 n^i l + ny \l+ny/\l + ny/^ n= 1(1 + ny)3 \ 1 + ny / \ i + ny J + n^in+Dv^T 1 rn'7 ny \"L ny \ a w a 2 l(l + ny)5 \ 1 + ny / \ 1 + ny/ 2! 2! - (»)/ ny \ («)/ x T a-:—^— 1 w a + ] ] a__\ 1 + ny / \ 1 + ny nl*-9(l + ny)2«+l x! x! Die erste Summe von (13) vergrössert man, indem man für w ^a-j—den grössten, sicher endlichen, Wert M einsetzt, den w für die in Frage kommenden Argumente annimmt. Ferner transformiere man T durch die Substitution x—1 1 P=t+i>* eo*2*' Dann wird -it?_(l+T)3/2 TW-*1-^ (i+z)2 +T\»/a T 1-z2 ny \ (1+ny) (l+2ny) (l+r)3/t 1 + ny )- [(l+2ny)*+T]3/2 Es entsprechen sich dann die Intervalle -1.....1, * 0.....oo. ny \ 1+ny Offenbar ist für jedes endliche % T y-j J < ^+2ny)2 + T^ '2' als0 dftr Befcra£ der oo (1+rWa ersten Summe von (13) kleiner als M pJ?1 ^jip^y > eine Reihe deren Konvergenz bekannt ist. In der zweiten Reihe von (13) ist bekanntlich — wieder, solange p nicht * 1 ist - T 1 ^By / aucn wacnsendes n endlich. Desgleichen bleibt w für alle n endlich. Ist also M das grösste der Produkte w ^a jpL- T -h^ny )' S0 ,00 1 ist die zweite Reihe dem Betrage nach kleiner als M 2t -77-,—z-r, eine Reihe, die sicher 0 nl (1+ny)3 konvergiert. Ebenso wird die Konvergenz der nächsten Reihe von (13) bewiesen* Was die letzte Reihe von (13) anlangt, so sei atf der Punkt, bis zu dem die Reihe konvergiert, die im Intervalle —a<x<a die Funktion w(x) darstellt. Dann ist also <f > 1. Man kann dann eine positive Zahl N finden, so dass;wW(x) v\ seine Ableitungen nehmen ihre grössten Werte an, wenn in ihnen ^t=l wird. Nun wird für »=0,1,2... < n-ist. T(z) und (l-Jxf-*