Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1913-01-01 · 1913 · page 5

oo Qv 3v v^o TT {2a 777 [ ta, (^n — f2n)V] l2n einen Ausdruck, der sich wiederum transformieren lässt in (7) p!tj| "'.■-'f^w(*)(,W. y.=o (P — *)• *! Dabei bedeutet wW(at2n) die x-te Ableitung von w nach seinem Argument; unter w<°> (at2n) wird w (at2n) selbst verstanden. Verwandelt man die zweite Gruppe der über v zu erstreckenden Summen auf der rechten Seite von (6) entsprechend in eine Reihe der Form J2"o 1 pD>(t)P' so erhält man oo Fv v' (n -j_ v _ x)\ P-x x C Ä 4 J, (" »" -IT(,-,)I (pL)l * OoFvl <?V r yi / , \yl J„7 Ti T7 Usi <*-W l u t2n 2>y2n (8) p! J fi*^£ a* »/a\i) W 1 toV- *!(P-*)I *! \t2nj Dabei ist jedoch noch zu untersuchen, ob die Vertauschung gestattet ist. Dass die fragliche Gruppe in eine nach positiven, steigenden, ganzen Potenzen von ~ fortschreitende Keine entwickelt werden kann, geht daraus hervor, dass ja stets fu (x) durch die Gleichung (1) darstellbar ist, deren Summen die Verwandlungen in Potenzreihen dieser Art ebenso zulassen wie die erste Doppelsumme von (6). Es ist nur zu prüfen, ob die Ausdrücke für lp} bei jedem p unbedingt konvergieren. Zu dem Zwecke beachte man, dass der Betrag des Differentialquotienten des an zweiter Stelle für 1(J} angegebenen Ausdruckes kleiner ist als der des entsprechenden Gliedes in k(p}. Man vergrössere k^, indem man ein jedes Cv durch Cm, den Betrag des absolut grössten dieser Koeffizienten, ersetzt. Desgleichen ersetze man in 1<J) jedes Fv durch Fmam, wo a zur Abkürzung für^j^ gesetzt ist, eine Zahl, für die die Reihe v^o^v(-^)v die obere Grenze ihrer Konvergenz sicher nicht überschreitet, und wo Fmam die analoge Bedeutung hat wie oben Cm. Ferner vergrössere man die Ausdrücke für indem man für den Faktor t^ vor dem Differentialquotienten eine Zahl /?v setzt, die durch die Ungleichung t^a < ß < - ~ ^2n bestimmt ist. Man erhält dann statt k« und \%] -1-tfc, k?> Cm J0 I (h ^- {t2nP (v2a - t2n)v}, L2n* r?-iw ~ ~ o*-W}. oo d Die Reihe k({} (—) konvergiert sicher, solange ß seine obere Grenze nicht erreicht, oo (1 — iL t>2n)v denn die Vergrösserung läuft darauf hinaus, dass in der Reihe Cm 2 W----— * 7=0 (1— itta)v+l «■ l) Denn ist das elektrische Bild von at2n-2anK2, liegt also in dem Intervall, in dem w(x) durch 00 / x w S0 Fv\T/ äar&estellt wird'