Jahrbuch der Jüdisch-Literarischen Gesellschaft · 1905-01-01 · III. 1905 - 5666 (1905) · page 346

283 dienen sollen. Will man eine durch 3 teilbare Zahl ins Quadrat erheben, so nehme man das Quadrat des Drittels, hänge eine Null an und subtrahiere das Quadrat des Drittels. So ist z. B. 272 92X10—92 810 729 81 ״, wie im allgemeinen (3a)* 10a2 -a2. Da ferner (3a+l)2 i3a)2־P[(3a-4-l)+3a], so ist z. B. 282=272+28 + 27 729+55 784. Ferner ist (3a—l)2 (3a)2 — [(3a—i)43־a], mithin z. B. 262 27J—(264676=53- 729 (27־. Diese Formeln hat bereits Abraham ihn Esra in seinem ספר המספר angewandt. Comtino geht noch weiter und wendet noch folgende Formeln an: (5a)2 10a2X2l/o. So ist z. B. 252= 52X10X272=250X2V2~625. Da ferner (5a+l)2 (5a)245)]־a4־l) 45־a], so ist z. B. 262=252+26H676 51־6254=25־. Ebenso ist (5a45)=2(2־a)245)]2־a+2) 45־a], daher z. B. 272=252+2(27+25) 625+104=729. Da ferner (5a—l)2=(5a)2— [(5a— l)+5a], so ist z. B. 242=25-—(24+25)=625- 49=576. Ebenso ist (5a - 2)2= (5a)2—2[(5a—2)+5aj, daher z. B. 23*=25*- 2(23+25)=625—96 =529. Nach der Formel (a+b).(a-b)=a2—b2 berechnet Comtino z. B. 35X25875=25—900=52—302=(5—30).(30+5) ״, ferner nimmt er nach der Formel (a+b).(a+c)=a2+a(b+c)+bc die Multiplikation zweier Zahlen in derselben Dekade vor, z. B. 13X14=102+10(3+4)+3X4=100+70+12=l 82. Als Probe wird wieder die Neuner- und Siebenerprobe angewandt. Die Zahlen werden durch ihre Reste für den Divisor 9 bezw. 7 ersetzt; die Reste der Faktoren müssen dann ein Produkt ergeben, das, abgesehen von Vielfachen von 9 bezw. 7, mit dem Reste des Produkts übereinstimmt. Zum Schlüsse des zweiten Teils gibt Comtino noch eine Reihe von Regeln. Ist a=b+c+d, so ist a2=ab+ac+ad. Da 12=3+4+5, so ist demnach 122= 12X3+12X4+12X5=36+48 +60=144. Ist a=b+e, so ist a2=b2+2bc+c2. Da 10=3+7, so ist 102=32+2X3X 7+ 72=9+42+49=100. Ist 2a=b+c, so ist a2=bc+(b—a)2. Da 2X5=7+3, so ist 52=7X3+(7—5)2= 21+4=25. Ferner ist (a+b)2=(2a+b).b+a2, daher z. B. 122= (10+2)2=(20+2) X 2+102=44+100=144. Ist a=b+e, so ista2+ b2=2ab+c2. Da z. B. 10=7+3, so ist 102+ 72=2X10X 7+32= 140+9=149. Ist a=b+c, so ist ferner (a+b)2=4ab+c2. Da 10=7+3, so ist demnach 172=(10+7)-=4X10X7+32=280+9 =289. Ist 2a=b+c, so ist b2+c2=2.[a2+(b—a)2]. Da 2X5