Programm · 1893-01-01 · 1893 · p. Seite 31

— 31 — 42. Zwei Städte sind 100 Mil von einander entfernt. Zwei Männer brachen in demselben Augenblick auf und gehen einander entgegen. Der eine macht täglich 19, der andere 17 Mil. "Wann werden sie sich treffen? [ibn Esra.] Lösung: Diese Aufgabe ist zu lösen durch eine Addition und eine Division. AVir addieren 17 und 19, das giebt 36, und das ist der Weg für einen Tag. Dann teilen wir durch 36 die 100 Mil, die zwischen den beiden Städten sind, und da kommt 228/36 27/9 heraus. 43. Wie findet man die Eeihe der Zahlen, für deren jede die Summe der Divisoren um eine gerade Zahl größer ist als die Zahl selbst*? Wie findet man weiter die Reihe der Zahlen, für welche diese Summe um eine gerade Zahl kleiner ist als die Zahl? Wie endlich die Reihe der vollkommenen Zahlen, d. i. derjenigen, bei welchen die Summe der Divisoren der Zahl selbst gleich ist? Bei der Beantwortung dieser Fragen hat Misrachi einen bekannten Satz Euklids (Elemente IX, 36) vor Augen. Werden nämlich die Glieder der Reihe (I) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, immer von 1 an addiert, so werden die erhaltenen Summen (II) 3, 7, 15, 31, 63, 127, zum Teil Primzahlen sein, wie 3, 7, 31, 127 u. s. w., zum Teil zusammengesetzt, wie 15, 63, u. s. av. Multipliziert man nun eine solche Summe, die Primzahl ist, mit der darüber stehenden Zahl der Reihe (I), so erhält man immer eine vollkommene, d. i. eine solche Zahl, deren Divisorensumme der Zalü gleich ist. Es ist also 3.2 6 die erste, 7 . 4 28 die zweite, 31 . 16 496 die dritte, 127 . 64 8128 die vierte vollkommene Zalü, u s. w. In der That ist 1 + 2 + 3 6, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 28, u. s. w. Multipliziert man aber ein Glied der Reihe (I) nicht mit der in (II) darunter stehenden Zahl, sondern mit einer anderen Primzahl, so wird das Produkt keine vollkommene Zalü sein. Wenn die gewählte Primzahl größer als die betreffende Zahl von (II) ist, so wird das Produkt eine mangelhafte Zahl sein, d. h. eine solche, deren Divisorensumme kleiner als die Zahl ist. Ist aber die gewählte Primzahl kleiner als die betreffende Zahl von (II), so wird das Produkt eine überschießende Zahl sein, d. h. eine solche, deren Divisorensumme mehr als die Zahl beträgt. Es ist also z. B., da 11 <C 15, aber 17 > 15 ist, 8 . 11 88 überschießend, S . 17 136 mangelhaft. In der That ist 1 + 2 + 4 + 8 + 11 +22+ 44 92>88 und 1 + 2 + 4 + 8 + 17 + 34+ 68 134 < 136. Euklid spricht a. a. 0. nur von den vollkommenen Zahlen (a.v.fru.ol tsasigO; die Begriffe überschießende Zahlen (a. ü^spusAsi?) und m a n ge 1 h a f t e Zahlen («. sXXittslc) rühren von Nikomachus (I, 14—16) her. Daß das von Misrachi dargelegte Verfahren, wenn es auch keine vollständige Lösung der Aufgabe giebt, doch immer Zahlen der verlangten Art liefert, und daß die Differenz zwischen der Zahl und ihrer Divisorensumme stets gerade sein wird, läßt sich leicht beweisen. 44. Jemand sagt: Ich habe mein Geld verdoppelt und 12 ausgegeben; das jetzt übrig gebliebene habe ich wieder verdoppelt und 12 ausgegeben; da hatte ich noch 12 übrig. Wie viel hat er gehabt? [Leonardo Pisano I, p. 258 ff, p. 329.]