Monatsschrift für Geschichte und Wissenschaft des Judentums · 1910-01-01 · Heft 5 · p. Seite 627

Besprechungen. 627 Satz ist ohne Beweis von Gersonides an die Spitze seiner Untersuchungen gestellt. In Satz 2 (a. a. O) finden wir das Gesetz der Distribution ausgesprochen, nämlich: a,(b + c) a.b + a,c. Der Beweis dieses Satzes für positive Zahlen stützt sich auf Satz 1 und scheinbar geometrische Betrachtung, wie sie schon bei Enklid üblich ist. Dann finden wir in einem der folgenden Sätze das Gesetz der Assoziation für Multiplikation, nämlich: (a b) c a (b c) a b c. Weiter finden wir einen merkwürdigen Satz (S. 12.f.) über Primzahlen. *Jede Zahl, die prim zu allen Zahlen ist, die kleiner sind als die Quadrat־ wurzel aus der zu ihr nächstgrößeren Quadratzahl, ist eine Primzahl.« Wir haben damit ein Kriterium zur Bestimmung von Primzahlen. Nun folgen Sätze über Summation spezieller Zahlenreihen. So finden wir (S. 18) den Satz: 1 +2+3 + י + n ~(n + 1). Sonderbar, daß Gersonides nicht darauf kam, daß für die Summation der arithmetischen Reihe mit Anfangsglied a und Endglied z gilt : ־—־ (a + z). Weiter finden wir : l2 + 22 + 32 + . . . + n2 (1 + 2 + 3 + . . + n) + (2 + 3+ . . + n) +. + n!3 + 23 + 33 + . . . + n3 (1 + 2 + 3 + . . . + n)2. Wir haben hier Versuche, die Summation höherer arithmetischer Reihen zu finden. Für die Summation einer arithmetischen Reihe stellt dann wirklich im 2. Teil (S. 73 ff.) Gersonides die Formel auf: n 1 ־1־ , ,, .v s n. —-— . a + (a — d) n. Er kommt darauf wie folgt: Es sei die arithmetische Reihe mit n Gliedern: a, (a + d), (a + 2d), . . a + (n — 2) d, a + (11 - 1) d gegeben. Es ist dann : a + [a + dj + [a + 2ä] + . ״ + [a + (n — 2) d] + [a + (n 1) dj =־d + 2d + 3d + ,.. + (n 1) d + nd + (a—d)-j-(a—d) + (a— d)+ (a — d) + (a — d) n + 1 d [1+2 +3 + .. + (n—i) +11] -f- (a — d).11: — d + (a״׳d).r׳. Wie leicht zu sehen ist, kommt man durch einfache Umformung auf unsere gebräuchliche Formel: 40*