Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 194

— 136 - \/3 der Zahl, berechnen, wie gross das Quadrat hiervon ist, nehmen die ent' sprechende Zahl in der noch höheren Stufe und subtrahieren das Quadrat des Drittels, so ist der Rest das Gesuchte". Die Nethoden erscheinen uns sehr nebensächlich und kaum anwendbar, man muss aber bedenken, dass sie wohl nur für Berechnungen angewendet werden sollen, die nicht schriftlich vorgenommen werden. 44) Vgl. im ersten Teil Satz 38. 45) Vgl. im ersten Teil Satz 42. 46) S. 77 -iponn ibdö ist die Reihendifferenz, Differenz schlechthin, so ist das Wort von jetzt an übersetzt. Die Summe einer arithmetischen Reihe von n Gliedern, mit dem Anfangsglied a und der Differenz d ist s=1/2[a+(n—l)d]. n. Unser Autor führt sie auf die Summe der natürlichen Reihe zurück. Er ern | 1 n -\~ 1 hält in unsrer Zeichenschrift s=n . . d—(d—a)n oder s—n. ~—.d+(a— d)n, je nachdem d >oder< a ist, man sieht sofort, dass die Formel dieselbe ist. Dass für den Fall d >oder< a 2 Formeln angegeben werden, hat seinen Grund darin, dass negative Zahlen nicht gestattet sind. Seite 78* Auch hier muss aus demselben Grunde zwischen den 2 Fällen unterschieden werden. Vgl. Note 48. 47) Das dem so ist, sieht man sofort aus der Formel. [n. . d+(a-d)n] 2(a-d)-n(a-d)2=2 [d . n . J1~] (a-d)+n(a-d)s. Die eckige Klammer links, ist in unsrer Schreibweise die Summenformel einer allgemeinen arithmetischen Reihe, wie sie unser Autor angibt, die eckige Klammer rechts die Summe der nicht natürlichen Reihe mit dem Anfangsglied und der Differenz d. Der Hinweis auf den Anfang des ersten Abschnittes bezieht sich nicht auf einen bestimmten Satz sondern auf das allgemeine dort dargelegte Prinzip des Absonderns gemeinschaftlicher Faktoren, das dort in mehr geometrischem Gewände erscheint. 48) Im andern Falle musste eben von jeder Zahl 2 abgezogen werden, um eine nicht natürliche Reihe herzustellen, also ist jedes Glied der Reihe um 2(a -d). a+(a—d)2 verkleinert worden, also hat man das entsprechende Zwischenresultat zu addieren. Der erste Fall würde sich in unsrer Schreibweise so darstellen. Das allgemeine Glied der Reihe ist (a+pd)2. Dafür schreiben wir [(d-a)+a+pd]2-(d-a)2-2(d-a)(a4-pd)=[(p+l)d]2-(d—a)2- 2(d—a). (a+pd). Summiert man so erhält man a2+(a+d)2-f [a+(n-l)d]2==d2+2d2+ (nd)2-n(d-a)5-2(d-a)[a+(a+d)+ a+ (n— l)d]. Für den andern Fall, erhielte man, wenn für das allg. Gliedes (a+pd)2 geschrieben wird [a— (a—d) -f pd]2— (a—d)2— 2 (a—d) (a-f pd) als Wert für die Summe der Reihe aH(a+d)2f . . . . [a-Kn-l)d]2=d2+ (2d)2+• (nd)2-n(a-d)2-2fa-~d)[a+(a+d)+• a4(n—l)d]. Für die jetzt folgende Summerierung der Reihe (a)3-Ha+d)3+ [a+(n—l)d]3 stellt man sich dieselben Beziehungen leicht her.