Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 190

— 132 - toren nicht mehr anwendbar ist, daher sind die folgenden 3 Sätze noch besonders bewiesen. Der Beweisgang ist analytisch, nicht synthetisch, während unsre Beweisführung jetzt auf dem letztgenannten Weg vorgeht. 9) Vorausgesetzt ist bei dem Beweis, wie man sieht, dass . * -= ist. 10) Der hebräische Text lautet "Wik 's isdb hy n»w wwk» rm. Hier ist in dem Sinne „neben" gebraucht, wie nwo noe vr;i Numeri 2. S. 20 ■ Der Zweck der hinzuzusetzenden 1 ist, dadurch ebensoviele Glieder im Zähler wie im Nenner zu haben. 11) Wäre b in Nr. 13 gleich 1, so würde der erste Teil des Beweises lauten: Wir multiplizieren die aus c, d, h, s zusammengesetzte Zahl mit t, das Resultat sei x. Siehe, das Produkt cdhs wurde mit 1 multipliziert und ergab a und mit t multipliziert und ergab x, also verhält sich a zu x wie 1 zu t Wird also 1 selbst nicht als Zahl angesehen wurde, wäre der Beweis doch richtig. 12) Nämlich, wenn wir je zwei von den Enden der Reihe gleich weit abstehende Zahlen zusammen fassen. 13) „Zu der letzten Zahl" „wie" „zu der ersten" soll heissen, durch Addition derselben Zahl zu d gelangt man zur letzten, wie man durch Subtraktion ebendieser Zahl von d zur ersten gelangt. Vielleicht könnte man mjwto zeitlich fassen, „dass man zur letzten Zahl gelangt, „wenn" man zur ersten kommt". 14) Die Formel stimmt in anderer Schreibweise mit der von Leonardo Pisano (1225) mitgeteilten Formel. 12(l2-f 22+ n2)=n(n+2) (2n-f-2) wenn n ungrade, 12(2*4 4ä+ - n2)=n(n+2) (2n+2), wenn n grade ist, überein. Für ein grades h ist f ungrade, demnach, nach Satz 28, die Summe (a-fb.....+f)=|(f+l),alsoh(a-f b 4-f)=(f — 1 )f(ttl^h(h 1 > J_h±2) das ist 3(l2+2t+h2)vh(h-|-2).2(h+l) 12(l5-'+22 -W). Isth ungrade, so folgt dasselbe aus Satz 26. Vgl. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik Bd. II, S. 321. 15) Die Formel stimmt mit der in der Mitte des ersten Jahrtausends schon bekannten l2+22+ +n2=n(n+1)(g2n+1) überein. b 16) Vgl. dazu Tropfke. Bd. II, S. 332, der diesen Satz zuerst bei Luca Paciuolo (1494) unter den Abendländern findet und die Frage auf wirft, ob derselbe ihn nicht nur induktiv gewonnen habe. Wir haben hier einen streng mathematischen Beweis. 17) Dieser Satz und die folgenden sind für die Lösung der von Nr. 53 an folgenden Aufgaben bestimmt Der Beweis ist für uns, die wir synthetisch vorzugehen gewöhnt sind, allerdings sehr umständlich, für uns wäre er durch die 2 Reihen cfb—a)-f a(c—b)=cb—ca4 ca—ab=b(c—a» bewiesen« In den folgenden Beweisen wird übrigens dieser Weg verlassen und bis auf die Zeichenschrift so vorgegangen, wie wir es gewöhnt sind» 18) Der hebräische Text ist etwas unklar, er lautet ganz unvermittelt »jWBHn «in 'w. Wir haben es ja eigentlich mit 4 Zahlen 2, c, a, b, zu tun.