Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 173

- 115 - Die Weise, Kubrikwurzeln zu ziehen: Wir schicken der Auseinandersetzung voraus, dass einige Zahlen keine durch Zahlen ausdrückbare Kubikwurzel haben» Das ist so, denn wenn ein Würfel in einem andern enthalten ist, muss seine Seite in dessen Seite enthalten sein. Daher muss es notwendigerweise unmöglich sein, dass sich eine durch Zahlen ausdrückbare Kubikwurzel für eine ganze Zahl findet, wenn diese Wurzel keine ganze Zahl ist denn hätte sie eine durch Zahlen ausdrückbare Kubikwurzel, so wäre sie eine Kubikzahl, und da diese Zahl die 1, die eine Kubikzahl ist, als Faktor enthält, müsste ihre Kubikwurzel deren Kubikwurzel enthalten. Enthielte sie diese aber, so wäre die Wurzel eine ganze Zahl, es war aber vorausgesetzt, dass die Wurzel keine ganze Zahl wäre, also ist die Annahme falsch, also ist die Zahl keine Kubikzahl. Daher sieht man, dass weder die Zahl 10 noch die Zahl 60 eine Kubikzahl ist, und dass es unmöglich ist, die Kubikwurzel aus ihnen durch Zahlen auszudrücken. Da dieses nun klar ist, und da die Einheiten der Stufen eine geometrische Reihe bilden, die mit 1 beginnt, und 10, die Einheit der zweiten Stufe, keine Kubikzahl ist, so kann keine Einheit einer Stufe ausser der der vierten, siebten, zehnten, eine Kubikzahl sein; das sind aber die Stufen, deren um 1 verminderte Zahl ein Vielfaches von 3 ist. Ebenso zeigt man, dass unter den Rubriken der Brüche keine Stufe ist, deren Einheiten Kubikzahlen sind, ausser der dritten, sechsten, neunten, deren Zahl ein Vielfaches von 3 ist. Nun sind die Kuben der Zahlenreihe von 1 bis 9 gleich 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. Wenn das so ist, so ist es klar, dass jede Kubikzahl, die sich in einer der Stufe befindet, deren Einheiten Kubikzahlen sind, selbst eine solche darstellt, weil sie diese Einheit, die eine Kubikzahl ist, so oft enthält wie eine Kubikzahl angibt, also ist eine Kubikzahl mit einer solchen multipliziert, daher muss das Ergebnis eine Kubikzahl sein. Ebenso beweist man, dass eine Kubikzahl, die in einer Rubrik steht, deren Einheiten keine Kubikzahlen sind, keine solche darstellen kann. Wenn dieses alles eingeprägt ist, wollen wir erläutern, wie man die Kubikwurzel aus ganzen Zahlen, die Kubikzahlen sind, findet und wie man sie annäherungsweise aus Nichtkubikzahlen zieht. Es ist richtig, dass du dir die Zahl, deren Kubikwurzel du wissen willst, in eine Reihe ent-