Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 163

— 105 — wir diese Weise des Aufsucbens der Quadratwurzeln behandeln. Zu Grunde wollen wir der Erläuterung den Beweis des Satzes legen, dass es unmöglich ist, durch Zahlen ausdrückbare Wurzeln für die Zahlen zu finden, die nur Ganze enthalten, wenn die Wurzel nicht eine ganze Zahl ist. Das hat seinen Grund darin, dass 1 eine Quadratzahl ist* Du weisst aber schon aus dem 8. Kap, des Euklid, Satz 14, dass wenn ein Quadrat ein Mass einer andern ist, seine Seite ein Mass der Seite des andern sein muss. Nun ist 1 das Mass einer jeden Zahl, und wenn diese nun ein Quadrat ist, so muss 1 auch ein Mass für die Quadratwurzel aus der Zahl sein, wenn also 1 in der Quadratwurzel nicht als Faktor vorhanden sein soll, so kann die Zahl keine Quadratzahl sein. So ist bewiesen, dass die Zahl keine durch Zahlen ausdrückbare Quadratwurzel haben kann. Beispiel dafür: Die Quadratwurzel aus 10 ist keine ganze Zahl, weil das Quadrat von 3 gleich 9 ist und die Quadratwurzel aus 10 grösser sein muss, als die aus 9, weil 10 grösser als 9 ist. Ebenso zeigt man, dass die Quadratwurzel aus 10 kleiner als 4 sein muss, weil das Quadrat von 4 gleich 16 ist, also ist die Quadratwurzel aus 10 keine ganze Zahl. 10 enthält aber die Quadratzahl 1 als Faktor, wenn nun 10 eine Quadratzahl wäre, so müsste die Quadratwurzel daraus die Quadratwurzel aus 1, die auch gleich 1 ist, als Mass haben, das ist aber, wie bewiesen, nicht der Fall, also hat 10 keine durch eine gebrochene oder nicht gebrochene Zahl ausdrückbare Quadratwurzel, deshalb wird die Wurzel irrational56) genannt. Richte dich in ähnlichen Fällen danach. Nachdem dieses beachtet ist, wollen wir dir zeigen, in welchen Stufen man aus Zahlen die Wurzeln ziehen kann, und in welchen es nicht angängig ist. Siehe, die Quadrate der Zahlenreihe von 1 bis 10 sind 1,4,9,16,25,36,49,84,81, und da die Einheiten der Stufen in Proportion stehen und bei 1 beginnen und die der zweiten, nämlich 10, keine Quadratzahl ist, so finden sich Quadratzahlen in der ersten, dritten, fünften u. s. w. in ungeraden Stufen. Ist das beachtet, so ist es klar, dass jede Quadratzahl, die sich in einer ungeraden Rubrik befindet, eine Quadratzahl ist,weil sie die Einheit dieser Stufe, die ja eine Quadratzahi ist, so oft als Faktor enthält, wie eine Quadratzahl angibt, also