Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 132

74 Ein andrer Weg -. Multipliziere mit dieser Zahl die Hälfte der folgenden, das ist das G esuchte. In diesem unsern Beispiele multipliziere 10 und die Hälfte von 11 oder 11 und die Hälfte von 10, das gibt 55, das war das Gesuchte. Und wenn die Zahlen keine natürliche Reihe bilden, ich meine, die erste ist eine gegebene Zahl, die zweite zweimal die gegebene Zahl, die dritte dreimal u. s. w. bis zu einer gegebenen Anzahl von Malen, so bilde die Summe der natürlichen Zahlenreihe bis zu der gegebenen Zahl auf die vorhergenannte Art und multipliziere das Resultat mit der gegebenen ersten Zahl, das ist das Gesuchte. Beispiel dafür: die erste Zahl sei 7, die zweite 14, die dritte 21, die vierte 28, und auf diese Weise sollen Zahlen auf einander folgen bis zur neunten, so weisst du schon, dass die Summe der Zahlen von 1 bis 9 gleich 45 ist, multipliziere das mit 7, der ersten Zahl, so gibt das 315, das ist das Gesuchte. Das ist so, weil das Verhältnis von 1 zu der ersten Zahl gleich dem von 2 zu der zweiten und dem von 3 zu der dritten, dem von 4 zu der vierten, dem von 5 zu der fünften, dem von 6 zu der sechsten, dem von 7 zu der siebten, dem von 8 zu der achten und dem von 9 zu der neunten ist, aber das Verhältnis von 1 zu seinem Hintergiied ist gleich dem Verhältnis der Summe der Vorderglieder zu der Summe der Hinterglieder, also verhält sich 1 zu 7, wie die Summe aller Vorderglieder zu der aller Hinterglieder. Nun enthält 7 die 1 siebenmal als Faktor, also enthält die Summe dieser Zahlen 45 auch siebenmal, also multipliziere man 7 und 45, das Resultat ist gleich der Summe dieser Zahlen. Richte dich in ähnlichen Fällen danach! Willst du die ungraden Zahlen von 1 bis zu einer gegebenen Zahl addieren, so nimm das Quadrat der mittleren Zahl zwischen 1 und der gegebenen Zahl, so hast du das Gesuchte. Beispiel dafür: Du willst die ungraden Zahlen von 1 bis 9, 1 mitgerechnet, addieren. Die Zahl in der Mitte zwischen 1 und 9 ist 5, nimm ihr Quadrat, das ist 25, so hast du das Gesuchte. Willst du die graden Zahlen bis zu einer bestimmten Zahl addieren, so ist die erste Zahl 2, die zweite zweimal 2, die dritte dreimal 2, und so reihen sich Zahlen an einander, die nicht der natürlichen Reihe entsprechen, dafür weisst du aber den Gang schon. Darum nimm die Hälfte der letzten Zahl, weil sie gleich der An-