Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 123

- 65 - Zweites Kapitel: V o n der Addition gleicher Grössen, d. i. von der Multiplikation einer Zahl mit eine r ande r n. Du weisst schon, dass. wenn 4 Zahlen in Proportion stehen, d. h., wenn das Verhältnis der ersten zu der zweiten gleich dem Verhältnis der dritten zu der vierten ist, das Produkt aus der ersten in die vierte gleich dem Produkt der zweiten in die dritte ist. Daher ist es klar, dass das Produkt aus der Einheit der zweiten Stufe in die Einheit der vierten gleich der Einheit der fünften Stufe sein muss, denn die Einheit der ersten verhält sich zur Einheit der zweiten, wie die der vierten zu der der fünften Stufe, also ist das Produkt aus der Einheit der ersten in die Einheit der fünften gleich dem Produkt aus der Einheit der zweiten in die der vierten. Die Einheit der ersten Stufe ist aber I, also ist das Produkt aus der Einheit der zweiten Stufe in die der vierten gleich der Einheit der fünften. Ebenso ist zu beweisen, dass das Produkt aus der Einheit der dritten Stufe in die der vierten, gleich der Einheit der sechsten ist, da die Proportion besteht, nach der das Verhältnis der Einheit der ersten Stufe zu der der dritten, gleich dem Verhältnis der Einheit der vierten zu der der sechsten ist. Und wenn du das fortführst, so wird es dir klar sein, dass die Einheit irgend einer Stufe, die man mit der Einheit irgend einer Stufe multipliziert, die Einheit der Stufe ergibt, deren Abstand von der Einheit des Multiplikanden so weit nach rückwärts40) ist, wie der Abstand der Einheit des Multiplikators von der ersten Stufe angibt, das ergibt die um 1 verminderte Summe der Stufen des Multiplikators und des Multiplikanden, weil du die eine der Stufen zweimal zählst. Beispiel dafür: Das Verhältnis der ersten Stufe zur vierten ist gleich dem Verhältnis der fünften zu achten, denn die achte ist die vierte nach der fünften, wenn man die fünfte mitzählt41). Nun wird aber die fünfte schon mitgezählt, wenn man ihre Stufen aufrechnet, also wird sie zweimal gezählt, und daher fehlt eine an der Summe der Stufen. Multipliziert man nun irgend eine Zahl von Einheiten einer Stufe mit einer Zahl von Einheiten einer beliebigen. Stufe, so ist durch das Bisherige schon gezeigt, dass das Besultat in die Stufe gesetzt werden muss, deren Ab- 5