Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1903-01-01 · 1903 · page 110

26 andere bilden, so erhält man nur 72 richtige Umstellungen. Die drei Elemente der einen Gruppe ergeben nämlich 3! 6 Umstellungen, jede derselben kann mit jeder der 6 Umstellungen der anderen kombiniert werden, was 36 Umstellungen hervorbringt; da endlich jedesmal die Gruppen die eine wie die andere Seite einer Produktengleichung einnehmen können, so erhält man 72 verschiedene Anordnungen. Haben daher zwei (seil, parallelepipedische) Körper gleiches Volumen, so bilden ihre Kanten eine zusammengesetzte Proportion, wie auch die Seiten gleicher Rechteke in Proportion stehen. Ehe die Richtigkeit der 72 verschiedenen Anordnungen bewiesen wird, schickt Eliah noch folgende 3 Sätze voraus: 1) Kehrt man die Reihenfolge der Zahlen eines Verhältnisses um, so kehrt sich auch der Bruch wert desselben um. 2) Das Produkt aus dem ursprünglichen und dem umgekehrten Verhältnisse ist stets 1*). 3) Bei fortlaufenden Verhältnissen wie z.B. 2: 3 und 3: 6 ist das Produkt beider Verhältnisse gleich dem Verhältnis des ersten zum letzten Gliede, ebenso bei drei und mehr Verhältnissen, Auf Grund dieser Sätze beweist Eliah die Richtigkeit der ersten 12 Umstellungen, die er unter Anwendung von Buchstaben für die aufeinanderfolgenden Zahlen des zusammengesetzten Verhältnisses in folgendes Schema bringt* Bezeichnen der Reihe nach a, b, c, d, e, f die Zahlen 2, 3, 6, 8, 5, 10, so ist das ursprüngliche Verhältnis (2: 3) (6: 8) 5:10 einfach durch Nebeneinandersetzen der betreffenden Buchstaben, jeder in einem „ Hause % angedeutet. In moderner Schreibweise ist also D VT=T5 Zeüe 2) ^deutet: ±-J f Dies wird verifizirt durch den Hinweis darauf, dass beide das Glied ~ enthalten, das also fortgelassen werden darf, und die übrigen vier Glieder gehen aus 1) durch Vertauschung der Innenglieder hervor. 3) -J =~ denn j kann aufgefasst werden als -^«7x5 nach Multiplikation mit ~ wird dies -| also nach 1) gleich -j. Aus dieser Combination folgt die 4)^-*-=-^- wieder durch Vertäu- 1 a b c (1 e | f 2 a b c e] d | f 4 a d c b | e | f 4 a d c e | b! f 5 a e c | b | d f 6 a e c d|b| f 7 a |b lf d | e | c 8 a b f e | d | c 9 a d f b j e | c 10 a d f e | b | c 11 a e f b | d | c 12 a e f d | b | c 13 b a d c | f | e!) Statt vieler sei an dieser einen Stelle unsere frühere Angabe be- HI