Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1903-01-01 · 1903 · page 108

24 gons gehende Gerade teilt den Umfang und die Fläche desselben in zwei gleiche Teile, und zwei Gerade, die den Umfang in vier gleiche Teile zerlegen, tuen dasselbe auch mit der Fläche und umgekehrt. Aber beim Rechteck teilen nicht immer zwei Gerade den Umfang in vier gleiche Teile, wenn sie die Fläche so zerteilen* Daher brauchen zwei gleichschenklige Dreiecke mit gleichen Schenkeln und gleichen Flächen nicht auch in den Basen und in den Winkeln übereinzustimmen, wie es die von den Diagonalen im Rechteck gebildeten Scheiteldreiecke erweisen. Wenn dagegen zwei gleichschenklige Dreiecke in der Basis und dem Winkel an der Spitze übereinstimmen, so stimmen sie in allen Stücken, auch in den Flächen überein. Allgemein: wenn Vielecke in den „Stücken4' (Seiten und Winkeln) übereinstimmen, so sind auch ihre Flächen gleich, umgekehrt aber bedingt die Gleichheit der Flächen nicht auch die der „Stücke". Das Gleiche gilt für den Umfang und die Fläche, die in ihrer Gleichheit völlig unabhängig von einander sind. Nur bei Kreisen besteht diese gegenseitige Abhängigkeit. Von zwei Vierecken mit gleichem Umfang hat das gleichseitige (seil, gleichwinklige) die grössere Fläche, und umgekehrt, von zwei Vierecken mit gleichem Flächeninhalt hat das gleichseitige den kleineren Umfang. Von zwei gleichseitigen Polygonen (wie Quadrat und Rhombus) hat das gleichwinklige die grössere Fläche, ausser beim Dreieck (gemeint sind natürlich nur gleichschenklige), wo das rechtwinklige das grösste ist, wie man an denjenigen Dreiecken erkennt, die durch die Diagonalen eines Quadrates und eines Rhombus von gleichen Seiten entstehen. Die kleinste Fläche (seil, mit gegebenem Umfang) schliesst das reguläre Dreieck ein, die grösste der Kreis und umgekehrt: bei gleichen Flächen ist der Umfang mit kleinster Seitenzahl der grösste. Der Mittelpunkt eines regulären Polygons ist bei gerader Anzahl der Seiten der Schnittpunkt zweier Diagonalen zwischen „gegenüberliegenden1* Ecken, bei ungerader Anzahl derselben der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Seiten. Die Inhaltsberechnung dieser Polygone benutzt den Umkreis derselben, in welchem die Seiten Sehnen sind, die ihrerseits mit Hilfe der zugehörigen Mittelpunktswinkel gefunden werden. Die Fläche des regulären Sechsecks ist -Jdes Produktes aus dem Kreisdurchmesser und der Sehne zum Drittelkreis. III