Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1903-01-01 · 1903 · page 94

10 beginnt die Trigonometrie. Als Grundlage dient der yprj i. e, dimidius, der auch unserer Halbsehne entsprechend definiert wird: ypD eines ßogens ist die halbe Sehne des doppelten Bogens. Er wächst mit zunehmendem Bogen bis zum Quadranten, erreicht dort sein Maximum und nimmt dann wieder ab. Im Quadranten selbst heisst er ganzer ypD (sinus totus) und dieser wird in 100000 gleiche Teile eingeteilt, um so alle anderen zu messen. „Auch hat man eine Tafel der Halbsehnen angefertigt, um zu jedem Bogen bezw. Winkel die Halbsehne abzulesen und umgekehrt." Ergänzung der Halbsehne, ypn D^wn (also unser cos) ist die Halbsehne des Ergänzungswinkels, (Complementwinkels), bei Winkeln über 90° ist es die Halbsehne des Überschusses über 90°; der Wechsel des Vorzeichens wird also nicht berücksichtigt. Der Sinussatz wird getrennt für die üblichen drei Winkelarten bewiesen und daraus der erste Aehnlichkeitssatz abgeleitet und der Satz, dass eine Parallele zu einer Dreiecksseite ein dem ganzen ähnliches Dreieck abschneidet. Sonderbarer Weise werden erst hier Folgerungen aus dem Satze über die Winkelsumme des Dreiecks eingeschaltet, die ihren Platz besser hinter Satz 63 (Winkelsummensatz) gefunden hätten, nnd dann wird darauf hingewiesen, dass die Grösse des ypu den Winkel nicht vollständig bestimmt, da ein spitzer Winkel mit seinem stumpfen Supplementwinkel im Sinus übereinstimmt. Dass nun zu einem gegebenen Sinus ein spitzer Dreieckswinkel gehört, lässt sich aus folgenden zehn Bedingungen erkennen: 1) wenn ein anderer Dreieckswinkel ein rechter oder stumpf ist 2) wenn er einem anderen Dreieckswinkel gleich ist. 3) wenn ein anderer Dreieckswinkel grösser ist als er. 4) wenn die Summe der beiden andern mehr als 90° beträgt. 5) wenn sein sin dem eines der beiden andern gleich ist, 6) wenn der sin eines der beiden anderen Dreieckswinkel grösser ist als der des vorliegenden. Der Text des hierfür gegebenen Beweises f ist zweifellos korrumpiert, gemeint ist wohl folgendes. Unter der Voraussetzung, dass in Fig. 4 sin a> sinßist,mussß<90°sein Denn wenn a > 90°, ist selbstverständlich ß < 90°; ist aber a < 90o, so Wäre, wenn ß > 90° III