Der Israelit · 1866-09-20 · Heft 38-39 (20.9.1866) · page 19

643 wodurch der 2. Satz eingeführt wird; der erste Satz wird aber durch den 2. nicht etwa bewiesen, sondern ist einfach mit ihm identisch; 3) L. muß daS wesentlich den Sinn verändernde und die 1. Potenz in die 2. verwandelnde Wort zusetzen; 4) Aus dem (2.) Plural das z^rr emendiren; 5) ändern; 6) die Lesart in dem am Ende besprochenen '"2 (wo übrigens bis auf eine einzige auch von uns in Satz 6 acceptirte Variante unsere Lesarten den L.'schen Emendationen gegenüber bestätigt werden), wo es statt 'pbs heißt p!>2i 'pro, ist nach dieser Interpretation unerklärlich und muß L. dieselbe als „selbstverständlich falsch" erklären (?so pn NOII '2) uns aber hat gerade die letztere ausgezeichnet gute und wahrscheinlich, richtigere Lesart auf die rechte Spur verhelfen. Hier constatiren wir nur noch und wir werden später einige Male darauf zurückkommen, daß L. hier sehr richtig als gleichseitiges und nicht als gleichschenkliges Dreieck (O«piLk7i 7NV) genommen hat; er hat dies, wie wir sehen werden, später öfter, ja immer vergessen. Die Argumentation R. nun, deren wir im Eingänge erwähnten, hat uns ein Lächeln abgewonnen. R. fragt verwundert: „Wenn wir Seite — 16 annehmen; so kommen wir nach diesem Satze zu dem Ldourckuw 48 — 192." Nicht minder srappirt hat uns die naive Behauptung L.'s, der doch sonst einen guten mathematischen Blick zeigt, daß hier der Kreis ganz gleichgültig sei. Nun kann man aber in der Mathematik nicht immer alles beliebig annehmen. So kann man eben sowohl einen ganz beliebigen Radius zum Kreise, sowie separat die Seite eines gleichseitigen Dreieckes ganz beliebig annehmen, für einen Kreis mit bestimmtem Radius aber ist die Seite des hineingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes Nicht mehr dem Belieben anheim gestellt, vielmehr ganz genau bestimmt, nämlich (Radius — r) — r^/3. Dieser höchst wichtige Satz wird vorzugsweise zu den folgenden Thesen benutzt worden; wir Müssen ihn daher streng beweisen. Planimetrrsch ist dies schon vor uns geschehen; ich will es hier in wenigen Worten und höchst einfach trigonometrisch thun. In dem in eine» Kreis hineingeschriebenen gleichseitigen Dreiecke ist , wenn der Mittelpunkt mit dem Halbirungspunkte und dem Endpunkts dieser Seite verbunden wird, nach dem Satze, daß sich zwei Seiten wie die Livusse der ihnen gegenüberliegenden Winkel verhalten, wenn wir die Seite x, und den Radius r nennen, wegen des getheilten Winkels — also —folglich sein Complementswinkel ----- 6()0 folgt: r : X ----- siv. r : kill. 600 — 2 1:^3 also X --- iy 3 und X — r^/3, A. behauptet 2 2 2 nun: „Die beiden Schenkel (ip-u) des auf der Seite eines gleichseitig. Drei eckes imKreise (.-11^7! 2^1^27!) durch die Mitte des Kreises (1D2 — Centrum 2) errichteten Dreieckes also die Summe der beiden Radien ist — den 4 Seiten eines Quadrates (p2i->vv) des auf dieser Dreieckseite errichteten Perpendikels (iMp TnwTi welches bei allen Seilen gleich ist (^p.-> 'pvs deutlicher die Lesart im pbn iirw '*2). Mit andern Worten, wir hätten zu beweisen, daß in der nebenstehenden Figur 4 el> (4 r') — 2 r, dies kann nun einerseits durch den Pythagoräer aber auch ohne alle Wurzelausziehung trigonometrisch bewiesen werden, nämlich r : r^— siv 30: sin. L — 1: 1 oder r ----- 2r^ also 2r ---- 4i< L Satz 1b. — -W82. Hier wird allerdings, wie es auch L. auffaßt, der Satz daß im gleichseitigen Dreiecke (immer die angenommenen Zeichnungen fest- Z haltend) b2 — «2 ausgesprochen. Jetzt aber hat „2^x2" einen ganz guten Sinn; es wird nämlich aus. gesprochen, daß sowie in erster Potenz (Satz 1».) eine Beziehung zwischen Seite und Höhe constatirt, so auch bei Größen zweiter Potenz. Satz 2 im — L. findet hier folgenden 2 Satz : die Summe des Quadrates einer auf des 1) Wolf, Lehrbuch der Geometrie S- 156 ß 428 beweist dies so. In nebenstehender Figur sei die Seite des -regulären rm Kreise lißgenden Dr.'s, vom Mittelpunkte n ist u. LkS gezogen, also < «; man ziehe S rav, ----2 L, also Dr.LlLV -leichschenklich, also L6 --- r; da nun < L86 ----- L (auf Durchmesser stehend); so hat man für Seite x des regulären x* -sr* ---- (2 r)'odern^ --- 3r2, also x — 3. L) Oder «ich Radius des i» des gleichseit. beschriebenen Kretses (s. Fi-4