Programm · 1893-01-01 · 1893 · p. Seite 7

Euklids enthalten, der in geometrischer Form die Formel (a -fb) b -f- ~- a2 a -|- b)2 giebt. 200 Jahre nach Euklid ist Heron (ed. Friedr. Hultsch, p. 133) durch die Aufgabe: „Aus der Summe des Durchmessers, der Peripherie und des Flächeninhalts eines Kreises jede dieser Zahlen einzeln zu bestimmen" zu einer solchen Gleichung geführt, und seine Lösungsart stimmt mit dem Verfahren, welches Diophant (um 300 n. Chr.) einschlägt, ganz überein. Die Griechen führen nämlich die Gleichung ax 2-)-bx=c nicht durch Division mit a auf die Form x 2 -fm x n zurück , sondern sie multiplizieren mit a (wohl um lästige Brüche zu vermeiden), wodurch sie a2x 2 -(- a b x a c oder (a x) 2 -|- b (a x) a c erhalten. Aus dieser Gleichung folgt zunächst a x =--^- -|- ac -j- ^-^ und dann durch Division mit a der Wert von x selbst. Die Araber und Inder dagegen bewirken wie die Neueren durch Division, beziehungsweise Multiplication, daß x 2 den Coeffizienten 1 habe, und gehen erst dann an die Auflösung. So macht es auch Misrachi. Ebenso muß er natürlich, da die negativen Zahlen sich zu seiner Zeit noch nicht das Bürgerrecht erworben hatten, drei verschiedene Fälle der Gleichung zweiten Grades, nämlich x 2 -|- a x b, x 2 a x -|- b, x 2 b a x unterscheiden und jeden Fall einzeln behandeln. Seine Abhängigkeit von den Arabern zeigt sich aber in noch einem dritten Punkt, der besonders charakteristisch ist: "Während wir gewohnt sind, bei jeder Gleichung zweiten Grades die Unbekannte x selbst zu bestimmen und dann, falls nach x 8 gefragt sein sollte, den gefundenen Wert von x mit sich selbst zu multiplizieren, haben die Araber ein besonderes Verfahren gelehrt, welches x 2 direkt liefert. Um z. B. die Gleichung x 2 -fa x b für x 2 zu lösen, multiplizieren sie mit a 2 und erhalten a2x2-|-a3x a2b oder (a x) 2 -f a 2 (a x) a 2 b; daraus folgt dann (a x) 2 -|- a 2 (a x) -|- a 2 b und a x -f- a 2 b -f- ~. a 2 Andererseits giebt die vorgelegte Gleichung, wenn beiderseits ---- addiert wird, a 2 a 2 x 2-fax -\- — zh c— und durch Subtraction der vorletzten von der letzten Gleichung a 2 J a4 folgt x 2 b -I---v a 2 b -|- —. Ganz so verfährt Misrachi, wie man unten ° ' 2 4 sehen wird. Die Behandlung der quadratischen Gleichung seitens der Araber zeigt noch eine andere Eigentümlichkeit: Sie erläutern in ihren theoretischen Werken die Lösung oder vielmehr „beweisen die Richtigkeit" derselben durch eine geometrische Figur. Dies Verfahren kann nur als ein Rückschritt angesehen werden. Schon Diophant hatte, indem er in seinem Hauptwerk — wenn man von der einen, vielleicht eingeschobenen Aufgabe V, 13 absieht — immer nur mit allgemeinen Zahlenausdrücken rechnet, ohne seine Zuflucht zu geometrischen Darstellungen zu nehmen, eine von der Geometrie unabhängige Algebra geschaffen. Der Teil seines Werkes, in welchem die