Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 196

- 138 - „gefundene" Wurzel, so haben wir es übersetzt, wenn es wohl auch in kein?m Fall etwas mit kxd etwa als Part. II Qual zu tun hat, sondern Hophal von ks» ist NSi*n sn» ist die sich „ergebende" Wurzel- 59) „Das ist so", nicht dass die Probe dieses Resultat ergeben muss} sondern der ganze Vorgang beim Ausziehen der Quadratwurzel beruht darauf, 65) Würde noch soviel bleiben, so wäre die angenährte Wurzel eben um 1 zu klein genommen. 61) Die Methode stammt aus sehr alter Zeit, was sie eigentlich an Erleichterung bringen soll, ist für uns nicht einzusehen. Nur wenn wir an eine Zeit denken wollen, der die Zahlenschrift nicht geläufig war, könnten wir verstehen, dass es angenehmer ist, lieber viele kleine Zahlen niederzuschreiben, als so unförmig grosse. Da unser Autor aber den Ziffern schon einen Positionswert gegeben, ist es für ihn eher eine Erschwerung der Rechnung als eine Erleichterung. Vgl. dazu Cantor, Geschichte der Mathematik. 62) Der Grund ist leicht einzusehen. Sei die Zahl (10x+y)3=H0x)3 +3 . (10x)2y+3(10x)y2+y3. Zuerst wird (10x)3 abgezogen, es bleibt 3 . (10x)2y +3(10x)y2+y3. Dividiert wurde durch 3. (10x)(10x+l). Ergibt das ein y und multipliziert man 3(10x)(10x+l) mit y, und wird das Ergebnis sowie y3 weggenommen, so bleibt 3. (10x)y2— 3. (10x)y=3(10x)y(y+1). Wenn also der Radikand sich in die Form (10x+y)3 bringen lassen soll, muss jetzt noch 3(10x)y(y — 1) da sein. Das wird auf folgende Weise geprüft. 3.(10x)y(y-1) 3. (IQx)y(y-l) < 3. (IQx)y(y-l) 3(10x)2y+3(10x)y2+y3 3(10x)y2+3J0x)y2 " 3. (10x)y(10x+y) v—1 oder < T~r—;—. Ist also der Rest so gross, dass sein Verhältnis zu der lOx+y y—1 geteilten Zahl gleich oder grösser ist als das Verhältnis jQx_^,y» so ist die die Zahl in die Form (lOx-f y)3 bezw. (10x+y)3 +r zu bringen. 63) Die zweite Weise, y zu berechnen, ist eben nur eine Schätzung, es ist ja gar nicht der Fall, dass (10x+l)3—x3 gleich 1 ,„[(11x)3—10x)8] ist. Zur Abschätzung des Wertes von y ist die Annahme, als Intenpolationsmethode zu gebrauchen. Die Erleichterung ist, genau genommen, also eine illusorische unter Umständen. Bei Anwendung des ersten Weges kann es vorkommen, dass man y zu gross wählt Es war dort durch ['lOx+1)3—(10x)3] geteilt worden, die Differenzen zwischen den Reihen auf einander folgenden Zahlen wachsen ja aber fortwährend, so dass man durch Division durch die zu kleine Zahl zu einem zu grossen Resultat kommen kann. Im zweiten Falle kann man, wie hier bemerkt wird, zu einem zu kleinen y kommen, weil das, wodurch man teilt, als zu gross anzusehen ist. 64) Vgl. Nr. 61. Das dort Gesagte gilt in erhöhtem Masse hier. Das Beispiel, das im Manuscr. durchgeführt wird, weist wesentliche Fehler auf- Die einzelnen Resultate stimmen nicht, und auch unter einander stimmen sie nicht überein. Dieser Teil ist ja nur im Wiener Manuscr. vorhanden, es liegt dadurch die Vermutung nahe, dass er nicht von Gersonides herrührt.