Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 187

— 129 — im die Differenz zwischen n und Ii gleich x, multiplizieren a mit m und teilen durch x, so erhalten wir k als die entsprechende Zahl zu a, und so hören wir nicht auf, bis wir die Zahlen k, t, g, s, 1 gefunden haben. Wir wollen nun beweisen, dass k, t, g, s, 1. die gewünschten Zahlen sind. Beweis : x verhält sich zu m wie jede Zahl aus der Reihe a, b, c, d, h zu der entsprechenden, also verhält sich a-f c zu k-f-g wie h zu 1. Bilden wir die Differenzen, so verhält sich x zu h wie die Differenz zwischen k-f g und 1 zu 1. Vertauschen wir die Glieder, so verhält sich x zu der Differenz zwischen k-f g und 1 wie h zu L Da sich nun x zu m wie h zu 1 verhält, ist die Differenz zwischen k-f g und 1 gleich m. Also sind die Zahlen k, t, g, s, 1 die entsprechende zu a, b, c, d, h, und die Differenz zwischen k-f g und 1 ist m, w. z. b. w. Auch, wenn uns von den entsprechenden unbekannten Gliedern nur bekannt ist, dass eine Zahl, deren entsprechende Stellung man weiss, oder eine Summe von Zalden, deren entsprechende Stellung man weiss, einen Teil oder Teile von Zahlen, deren Stellung man kennt, um eine gewisse Grösse übertrifft, so können wir dadurch schon die entsprechenden Zahlen zu den gegebenen finden. Es sei in unserem Beispiel bekannt, dass t gewisse gegebene Teile der Summe k-f s um m übertrifft, siehe, so setzen wir dieselben Teile der Summe a-f d gleich n und beweisen, dass b grösser ist als n. Denn das bekannte b verhält sich zu dem unbekannten t wie das bekannte a zu dem unbekannten k. Also verhält sich b zu t wie a-f d zu k-f s. Aber a-f d verhält sich zu k-f s wie n zu den gegebenen Teilen von k-f s, die wir mit x bezeichnen68) denn das ist ja klar, dass a-f d sich zu n wie k-f s zu diesen gegebenen Teilen von k-f s verhält. Vertauschen wir die Glieder, so zeigt sich die Richtigkeit unserer Behauptung. Also verhält sich b zu t wie n zu den gegebenen Teilen von k-f s. Vertauschen wir die Glieder, so verhält sich b zu n wie t zu den gegebenen Teilen von k-f s. t ist aber grösser als diese Teile, also ist b grösser als n. Sei die Differenz zwischen ihm und n gleich e. Wir multiplizieren a mit m und teilen durch e, so bekommen wir k, das a entspricht. Und so hören wir nicht auf, bis wir die Zahlen k, t, g, s, 1 gefunden haben. Wir behaupten nun, dass k, t, g, s, 1 die gesuchten Zahlen sind, Beweis; e verhält sich zu m wie jede der Zahlen a, b, c, 9