Der Israelit · 1866-12-05 · Heft 49 (5.12.1866) · page 17

Geschäftliche Beilage M Nr. 49 des Israelit. Zwei höchst riithethaste Stellen im Iben Gsra, enthaltend acht bis neun neue planimetrische Lehrsätze, erklärt und entwickelt von vr. I8rse1 ULIävsIieinier. (Schluß aus Nr. 38 und 39.*) Luzzato nun, der der Sache nach, wie gesagt, nur auf -npQ verweist, und nur der Form nach eine andere Beweisführung gibt, ^) muß hier 1) für 2) -11217 für '-1217 lesen. Endlich und hauptsächlich wehren wir uns, wenn irgend möglich nnd wenn es nicht anders sein kann, selbst auf Kosten von einigen Zehnteln rücksichtlich der Genauigkeit, gegen die so höchst auffallende sonderbare Schwindelei der Vergleichung zwischen incommensurablen Größen, was ich bei einem A. E. für geradezu unmöglich halte. Nun aber kommen bei der Vergleichung unserer Stelle mit der Parallelstelle in rnvl7 noch einige durchaus nicht unerhebliche Varianten, die L. sonderbarer Weise gar keiner Erwähnung würdigt, zu, und zwar 1) hier nur 17^1172 (aber mit Artikel), dort .-M7 L7>N7O, 2) hier nur (was doch gewöhnlich entweder das Quadrat oder Seiten eines Viereckes nicht aber Inhalt eines Parallelogrammes ist), dort wirklich Vi2p2 ii-inri p2i->vn. Ferner ist von der Annahme einer wiederholten Theilung der oberen Absciffe in 2 Hälften zur Construction des Parallelogrammes weder hier noch dort auch nur die leiseste Spur im Texte zu finden. Endlich muß noch hinzugenommen werden, wie dies schon Lselbst auffallend gewesen, aber von ihm nicht gerechtfertigt wird, warum *) Wir setzen die in der ersten Hälfte des Aufsatzes construirte Figur zur besseren Orientirung desLesers noch einmal hierher. 4) Trigmometrisch wird alles dieses viel einfacher bewiesen. Man ziehe an der Fig. im Texte de — r; so sind in dem rechtw. « bekannt 1) " 6^) el,--- 5 und der R. bei i also!e : eil «in sin R. ---- 1 oder sin a i e (sin R. ----) 1. Hierdurch ist W. a dadurch aber auch Wbei o bestimmt, wodurch nach wiederholter Anwendung des öfter citirten Lehrsatzes auch ed — 5, id nnd alle übrigen Seiten gefunden werden können. A. E. im folgenden Satze, wo derselbe (nach L.'s Interpretation, wir sind auch dort verschiedener Meinung) vom Gegensätze zu dieser Thesis beim Drchm. —15 spricht, nur das Dreieck, nicht aber wie hier, auch das Parallelogramm ausrechnet. — Unserer Meinung nach sagt daher A. E. etwas ganz Anderes. Der 2 Lehrsatz lautet: Wenn auf des Durchmessers —10 2 eine Sehne in derselben errichtet wird, dann findest du den Umfang ('->217 — Summe der gebrochenen Linie der 3 Dreiecksseiten) des Dreieckes (mit Artikel, das schon Satz 1a besprochene, nämlich dcs gleichseitigen, nur daß es dort ein in den Kreis hineingeschriebenes, hierüber ein auf die Sehne errichtetes ist), oder die Summe der Seiten ('->217) eines (in diesen Kreis hineingeschriebeneu Quadrates P2122.1 Artikel auf dieses bestimmte nämlich reguläre) Viereckes, sowie der Artikel bei auf die bestimmte Seite (nämlich durch den Kreis) andeutet; (übrigens hat dieser Drchm. nur mit dem Dreiecke aber nicht mit dem Quadrate zu thun) — dem Faden oder der Linie des Kreises, nämlich den über dieser Quadratseite, wovon zuletzt gesprochen, befindlichen Bogen. In kurzen Worten also lautet der Satz: In einem Kreise mit Drchm. — 10 ist die Summe der Seiten eines auf der Sehne 2 nach Durchmesser errichteten gleichseitigen Dreieckes oder auch die eines im Kreise eingeschriebenen Quadrates (welche als gleich vorausgesetzt werden, weshalb das „oder" 0") gesetzt, wir werden dieses sofort beweisen) — dem über der Quadratseite befindlichen Bogen. Dieser Satz besteht also aus 2 Theilen, 1) Gleichheit der Umfänge der gradlinigen Figuren 2) Gleichheit dieser Längenmaße mit dem erwähnten Bogen. Der erste Satz ist ganz genau richtig und nicht nur für den Durchirr. 10; dieser bezieht sich bloß auf den zweiten Satz, welcher bis auf 0, 78 Differenz richtig ist. Um die Allgemeinheit des ersten Satzes zu beweisen, führen wir der Kürze halber den Beweis für Durchm. — 10 m (wobei m auch 0 sein kann). Nun ist aber immer die Hälfte der Sehne -t-°) (^) -- (^) > / 2, also 2 — 2 (10 ^^) / 2 und 3 s — 2 ("ly z. Anderseits ist, da sich die