Der Israelit · 1866-03-28 · Heft 13-14 (28.3.1866) · page 21

WMnschastlichr Lcilagc zu Ar. 13 L 14 des Israelit. Eine mathemathische Aufgabe zu Erubiu Cap. 2, K. S. dargestellt und gelöst vom Herausgeber. In der fünften Mischnah des zweiten Capitels im Tractat Erubin wird über eine Meinungsverschiedenheit der Tana'im über das Gestattetsein des Tragens am Sabbat innerhalb eines umfriedeten Gartens berichtet. Nach R. Jehudah ben Baba ist es gestattet, am Sabbat in einem Garten zu tragen, der mit einer Mauer von 10 Tephachim (IVs Ellen) Höhe umgeben, 7( 2/3 Ellen lang und 70V» Ellen breit ist, also einen ungefähren Flächeninhalt von 5000 lH Ellen hat, vorausgesetzt, daß sich eine Wächterhütle oder ein Wohnhaus darin befindet oder daß er nahe bei der Stadt gelegen ist; nach Rabbi Jehuda sind die zuletzt angeführten Bedingungen erläßlich, wenn nur ein Brunnen, eine Cisterne oder eine Höhle sich darin befindet; nach R. Akiba ist auch dieses unnöthig; nach Rabbi Eliefer muß der Garten genau die Gestalt eines Quadrats haben; nach Rabbi Jose darf er sogar die Gestalt eines Oblongums haben, dessen Länge das Doppelte der Breite beträgt. Das obenangegebene Maaß des Flächeninhalts wird nach II. B. M. C. 27, V. 18, nach dem Flächeninhalte des Vorhofs der Stiftshütte, der eine Länge von 100 und eine Breite von 50 Ellen hatte, normirt; denn die Quadratwurzel aus 5000 ergibt 70Vi°. Nachdem Rabbenu Obadjah di Bartenora die Mischnah nach RaschOs Vorgang erklärt hat, fügt er hinzu DPI „Maimonides stellte hierüber viele Rechnungen auf; allein ich habe ihn nicht verstanden." Rabbi Lippmann Heller im Tosaphot Jom Tob rechnet dem Maimonides nach und findet, daß dieser Recht hat; gibt aber nicht Aufschluß darüber, woher die Zahlen bei Maimonides ihren Ursprung haben. Hören wir nun Maimonides selbst: „Wir wissen bereits," sagt M.: „daß der Flächeninhalt des Vorhofs der Stiftshütte 5000 Ellen beträgt: denn derselbe war 100 Ellen lang und 50 Ellen breit; die Quadratseite eines solchen Raumes ist annäherungsweise 70^/?, weil die Zahl irrational ist." Nachdem nun Maimonides die Meinungsverschiedenheit der Tanai'm näher erörtert, gibt er an, daß, wenn die Diagonale noch einmal so groß sein soll als die kleinere Seite des Oblongums, jene in dem hier gegebenen Raume annäherungsweise 107^2 Ellen, die größere Seite annäherungsweise 93^/2? Ellen und die kleinere annäherungsweise 53Vs Ellen lang sein müssen. Maimonides spricht sich über das Auffinden dieser Zahlen nicht näher aus; er fügt nur hinzu, daß sie dem Mathematiker einleuchtend, dem in der Mathematik Unbewanderten hingegen unverständlich seien. Versuchen wir jetzt die Lösung der gestellten Aufgabe. Es handelt sich hier um den Pythagoreischen Lehrsatz, daß nämlich das Quadrat der Hypothenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten; denn das durch die Diagonale getheilte Oblongum zerfällt in zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Hypothenuse die Diagonale und deren Katheten die beiden Seiten sind. Die Aufgabe lautet also folgendermaßen : Wie groß sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen beide Katheten miteinander multiplicirt ein Product von 6000 ergeben und deren kleinere halb so groß als die Hypothenuse ist? Nennen wir die kleine Kathete a, die große b und die Hypothenuse 6, so ist nach dem Pythagoräischen Lehrsätze g.2-s-1>2— o? Unserer Voraussetzung zufolge ist die kleine Kathete halb so groß als die Hypothenuse, folglich o — 2a a? — a 2 -sk> 2 — 4^2 1,2 — 3 a* Unserer Annahme zufolge ist a . b — 5000 a 2 . d « 25,000,000 ar . 3 g. 2 25,000,000 3a4 — 25,000,000 8.4 --- 8,333,333i/s a --- v/8333333V3 a 53«/io der Voraussetzung gemäß ist demnach die Hypothenuse (O) 1072/lv. Man kann nunmehr d aus a leicht entwickeln; da sich jedoch a als irrational herausgestellt hat, so wollen wir lieber d direct berechnen: